Da probabilidade “no ar” para a probabilidade “contável”
Em muitos problemas, a probabilidade fica simples quando você transforma a pergunta em uma contagem bem definida. O caminho padrão é: definir o espaço amostral (o conjunto de resultados elementares possíveis), verificar se os resultados são equiprováveis e, quando forem, usar P(A)=|A|/|S|. O ponto crítico é escolher qual será o “resultado elementar”: se você agrupa resultados em categorias com probabilidades diferentes, perde a equiprobabilidade e a razão |A|/|S| deixa de valer diretamente.
Checklist operacional (use em todo exercício)
- (1) Resultado elementar: descreva exatamente o que é um “ponto” do espaço amostral (ex.: “uma carta específica”, “um par ordenado (d1,d2)”, “uma sequência de 4 dígitos”).
- (2) Total de possibilidades: calcule
|S|com contagem adequada. - (3) Definição do evento: escreva o evento
Aem termos do resultado elementar (ex.: “(d1,d2) com soma 7”). - (4) Contagem do evento: calcule
|A|com contagem adequada. - (5) Simplificação e interpretação: reduza a fração e explique o significado (ex.: “1 em 6”).
Equiprobabilidade: quando a razão |A|/|S| funciona (e quando não)
Equiprobabilidade significa: cada resultado elementar em S tem a mesma chance. Exemplos típicos: uma carta bem embaralhada (cada carta específica é igualmente provável), um dado honesto (cada face), uma senha gerada uniformemente entre todas as sequências possíveis.
Armadilha comum: definir como resultado elementar uma categoria agregada (ex.: “soma dos dados”) e tentar usar |A|/|S| nesse espaço agregado. As somas não são equiprováveis. A correção é remodelar o espaço amostral para resultados elementares equiprováveis (ex.: pares ordenados (d1,d2)).
Exemplo 1 (cartas): evento simples e evento composto
1A) Uma carta de um baralho padrão (52 cartas). Probabilidade de sair Ás
(1) Resultado elementar: uma carta específica (por exemplo, “Ás de Copas”).
(2) Total de possibilidades: |S|=52.
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(3) Evento: A = “a carta é um Ás”.
(4) Contagem do evento: há 4 ases, então |A|=4.
(5) Simplificação e interpretação: P(A)=4/52=1/13. Interpretação: em média, 1 a cada 13 cartas é Ás.
1B) Uma carta. Probabilidade de sair “carta vermelha OU figura (J,Q,K)”
(1) Resultado elementar: uma carta específica.
(2) Total de possibilidades: |S|=52.
(3) Evento: A = “vermelha” (26 cartas), B = “figura” (12 cartas). Queremos P(A∪B).
(4) Contagem do evento: |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|. As figuras vermelhas: J,Q,K de Copas e Ouros = 6 cartas. Logo |A∪B|=26+12-6=32.
(5) Simplificação e interpretação: P(A∪B)=32/52=8/13. Interpretação: a maioria das cartas (8 em 13) é vermelha ou figura.
Exemplo 2 (dados): remodelando para recuperar equiprobabilidade
2A) Dois dados honestos. Probabilidade de a soma ser 7
Por que não usar “soma” como resultado elementar? Porque “soma = 2” tem 1 forma, “soma = 7” tem 6 formas etc. As somas não são equiprováveis.
(1) Resultado elementar: par ordenado (d1,d2), com d1,d2∈{1,2,3,4,5,6}.
(2) Total de possibilidades: |S|=6·6=36.
(3) Evento: A = “d1+d2=7”.
(4) Contagem do evento: pares que somam 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1). Então |A|=6.
(5) Simplificação e interpretação: P(A)=6/36=1/6. Interpretação: em média, 1 em 6 lançamentos duplos dá soma 7.
2B) Dois dados. Probabilidade de “pelo menos um 6”
(1) Resultado elementar: par ordenado (d1,d2).
(2) Total de possibilidades: |S|=36.
(3) Evento: A = “d1=6 ou d2=6”.
(4) Contagem do evento (via complemento): complemento A^c = “nenhum é 6”, ou seja, d1∈{1..5} e d2∈{1..5}. Então |A^c|=5·5=25, logo |A|=36-25=11.
(5) Simplificação e interpretação: P(A)=11/36. Interpretação: um pouco menos que 1/3 das vezes aparece pelo menos um 6.
Exemplo 3 (urnas): sem reposição e evento composto
3A) Urna com 5 bolas vermelhas e 3 azuis. Retira-se 2 sem reposição. Probabilidade de sair “uma de cada cor”
(1) Resultado elementar: um par de bolas específicas retiradas (sem ordem). Cada subconjunto de 2 bolas é igualmente provável quando a retirada é aleatória sem reposição.
(2) Total de possibilidades: |S|= número de maneiras de escolher 2 bolas dentre 8: |S|=C(8,2)=28.
(3) Evento: A = “1 vermelha e 1 azul”.
(4) Contagem do evento: escolher 1 vermelha dentre 5 e 1 azul dentre 3: |A|=C(5,1)·C(3,1)=5·3=15.
(5) Simplificação e interpretação: P(A)=15/28. Interpretação: é mais provável sair cores diferentes do que duas da mesma cor.
3B) Mesma urna. Probabilidade de sair “duas vermelhas OU duas azuis”
(1) Resultado elementar: subconjunto de 2 bolas específicas.
(2) Total de possibilidades: |S|=28.
(3) Evento: A = “2 vermelhas”, B = “2 azuis”. Queremos P(A∪B).
(4) Contagem do evento: |A|=C(5,2)=10, |B|=C(3,2)=3. Como não dá para ser simultaneamente “2 vermelhas” e “2 azuis”, A e B são disjuntos, então |A∪B|=10+3=13.
(5) Simplificação e interpretação: P(A∪B)=13/28. Interpretação: cerca de 46% das vezes as duas bolas têm a mesma cor.
Exemplo 4 (senhas): espaço amostral como sequência elementar
4A) Senha de 4 dígitos (0–9), com repetição permitida. Probabilidade de ter exatamente dois dígitos iguais a 7
(1) Resultado elementar: uma sequência de 4 dígitos (ex.: 0-7-7-3). Sequências são equiprováveis se a geração for uniforme.
(2) Total de possibilidades: |S|=10^4=10000.
(3) Evento: A = “exatamente duas posições contêm o dígito 7”.
(4) Contagem do evento: escolha as 2 posições que serão 7: C(4,2)=6. Nas outras 2 posições, cada uma pode ser qualquer dígito exceto 7: 9 opções por posição, total 9^2=81. Logo |A|=6·81=486.
(5) Simplificação e interpretação: P(A)=486/10000=0,0486. Interpretação: cerca de 4,86% das senhas têm exatamente dois 7.
4B) Senha de 4 dígitos. Probabilidade de ser “palíndroma” (ABBA)
(1) Resultado elementar: sequência de 4 dígitos.
(2) Total de possibilidades: |S|=10^4.
(3) Evento: A = “d1=d4 e d2=d3”.
(4) Contagem do evento: escolha d1 (10 opções) e d2 (10 opções). Os demais ficam determinados. Então |A|=10·10=100.
(5) Simplificação e interpretação: P(A)=100/10000=1/100. Interpretação: 1% das senhas de 4 dígitos são palíndromas.
Exemplo 5 (amostras sem reposição): ordem vs. não ordem e consistência do modelo
5A) Selecionar 3 cartas de um baralho, sem reposição. Probabilidade de “todas serem de Copas”
Você pode modelar o resultado elementar como “conjunto de 3 cartas” (sem ordem) ou como “sequência de 3 retiradas” (com ordem). As duas escolhas funcionam, desde que S e A sejam contados no mesmo modelo.
Modelo sem ordem
(1) Resultado elementar: subconjunto de 3 cartas específicas.
(2) Total de possibilidades: |S|=C(52,3).
(3) Evento: A = “as 3 cartas são de Copas”.
(4) Contagem do evento: há 13 copas, então |A|=C(13,3).
(5) Simplificação e interpretação: P(A)=C(13,3)/C(52,3). Interpretação: chance de um trio todo do mesmo naipe (Copas) ao escolher 3 cartas.
Exemplo 6 (resultados não igualmente prováveis): categorias agregadas vs. sequências elementares
6A) Duas moedas honestas. Probabilidade de “dar exatamente uma cara”
Se você define o resultado como “número de caras” (0,1,2), esses três resultados não são equiprováveis. Para usar contagem com |A|/|S|, remodele para sequências.
Modelo correto (sequências equiprováveis)
(1) Resultado elementar: sequência ordenada de dois lançamentos: {CC, CK, KC, KK} (C=cara, K=coroa).
(2) Total de possibilidades: |S|=4.
(3) Evento: A = “exatamente uma cara” = {CK, KC}.
(4) Contagem do evento: |A|=2.
(5) Simplificação e interpretação: P(A)=2/4=1/2. Interpretação: metade das vezes sai uma cara e uma coroa.
6B) Dois dados: por que “soma” falha como espaço amostral equiprovável
Espaço agregado (não equiprovável): somas possíveis {2,3,...,12} (11 resultados). Se você fizesse P(soma=7)=1/11, estaria errado.
Remodelagem (sequências equiprováveis): usar (d1,d2) com 36 resultados igualmente prováveis, como no Exemplo 2A, recupera a razão correta 6/36.
Tabela-guia: como escolher o “resultado elementar” para manter equiprobabilidade
| Experimento | Resultado elementar recomendado | Observação de equiprobabilidade |
|---|---|---|
| 1 carta | carta específica | equiprovável com baralho bem embaralhado |
| 2 dados | par ordenado (d1,d2) | equiprovável; somas não são |
| k retiradas sem reposição | subconjunto (sem ordem) ou sequência (com ordem) | ambos funcionam se a contagem for consistente |
| senha | sequência de caracteres | equiprovável se gerada uniformemente |
| moedas | sequência de resultados | equiprovável; “número de caras” é agregado |
Modelo de escrita (para você copiar e preencher)
(1) Resultado elementar: ________________________________
(2) Total de possibilidades |S|: ________________________
(3) Evento A (em termos do resultado elementar): ________
(4) Contagem do evento |A|: _____________________________
(5) Probabilidade P(A)=|A|/|S| = ________ ; interpretação: __________________
