Princípio da Inclusão-Exclusão em Análise Combinatória para Probabilidade

Por que Inclusão-Exclusão aparece quando há várias restrições?

Em muitos problemas de contagem para probabilidade, você quer contar objetos que satisfazem pelo menos uma condição (ou, equivalentemente, que violam uma ou mais restrições). Um erro comum é somar contagens de casos “com a condição A” e “com a condição B” e esquecer que alguns objetos entram nas duas contagens ao mesmo tempo. O Princípio da Inclusão-Exclusão (PIE) corrige exatamente essa supercontagem (e a subcontagem que vem depois da correção).

Ideia central: somar os tamanhos individuais (inclusão) superconta interseções; então você subtrai as interseções (exclusão). Mas ao subtrair, você pode ter removido demais quando há três ou mais conjuntos; então você re-adiciona interseções triplas, e assim por diante, alternando sinais.

Construção do caso de dois conjuntos

União de dois eventos/conjuntos

Se A e B são conjuntos de objetos (ou eventos), então:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Raciocínio de supercontagem

• Ao somar |A| + |B|, todo objeto em A ∩ B foi contado duas vezes.
• Subtrair |A ∩ B| remove a contagem extra, deixando cada objeto da união contado exatamente uma vez.

Passo a passo prático (2 conjuntos)

• Defina claramente o universo U (o que está sendo contado).
• Defina A: objetos que satisfazem a condição 1 (ou violam a restrição 1).
• Defina B: objetos que satisfazem a condição 2 (ou violam a restrição 2).
• Conte |A|, |B| e |A ∩ B|.
• Aplique |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
• Se o objetivo for “nenhuma condição”, use |U \ (A ∪ B)| = |U| − |A ∪ B|.

Dois para três conjuntos: onde entra o “volta a somar”

União de três conjuntos

Para A, B, C:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Por que o termo + |A ∩ B ∩ C|?

• Somando |A| + |B| + |C|, um objeto em A ∩ B ∩ C é contado 3 vezes.
• Subtraindo as interseções duas a duas, esse mesmo objeto é subtraído 3 vezes (uma em cada par), totalizando 0 contagens (3 − 3 = 0).
• Mas ele deveria aparecer 1 vez na união, então precisamos somar de volta |A ∩ B ∩ C|.

Padrão geral (para reconhecer sem decorar)

Para a união de vários conjuntos, o PIE alterna sinais:

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• + soma dos tamanhos individuais
• − soma das interseções em pares
• + soma das interseções em trios
• − soma das interseções em quartetos
• … e assim por diante

Aplicações diretas em probabilidade

Em probabilidade com espaço amostral finito e equiprovável, frequentemente:

P(E) = |E| / |U|

Então o PIE entra como uma ferramenta para calcular |E| quando E é uma união (“pelo menos uma condição”).

Aplicação 1: sequências que evitam certos símbolos (via “contar proibidos”)

Exemplo: sequências de comprimento 5 sobre alfabeto {A,B,C,D}

Universo: todas as sequências de tamanho 5 com 4 símbolos possíveis.

|U| = 4^5

Queremos contar sequências que evitam A e evitam B (ou seja, não contêm A nem B). Em vez de contar diretamente, vamos contar o complemento: sequências que contêm pelo menos um dos símbolos proibidos.

Defina:

• A: sequências que contêm pelo menos um símbolo “A”.
• B: sequências que contêm pelo menos um símbolo “B”.

Então “contém A ou contém B” é A ∪ B. E “evita A e evita B” é U \ (A ∪ B).

Passo a passo

• 1) Conte |A|: total menos as que não têm A. Sem A, há 3 símbolos por posição: 3^5. Logo |A| = 4^5 − 3^5.
• 2) Conte |B|: simetricamente, |B| = 4^5 − 3^5.
• 3) Conte |A ∩ B|: sequências que contêm pelo menos um A e pelo menos um B. Use complemento dentro de um alfabeto de 4 símbolos: |A ∩ B| = |U| − |(sem A) ∪ (sem B)|, mas aqui é mais rápido por inclusão-exclusão “ao contrário”:

|A ∩ B| = 4^5 − (sequências sem A) − (sequências sem B) + (sequências sem A e sem B) = 4^5 − 3^5 − 3^5 + 2^5

• 4) Aplique PIE para a união: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
• 5) Volte ao que interessa: |U \ (A ∪ B)| = |U| − |A ∪ B|.

Observação didática: este exemplo mostra um uso comum do PIE em probabilidade: transformar “evitar símbolos” em “pelo menos um símbolo proibido aparece” e aplicar união.

Aplicação 2: escolhas que devem conter itens de categorias específicas

Exemplo: montar um kit com 6 itens, escolhidos de 12

Suponha 12 itens divididos em categorias: 5 de categoria X, 4 de categoria Y, 3 de categoria Z. Queremos contar quantos subconjuntos de 6 itens contêm pelo menos um item de cada categoria.

Defina o universo:

|U| = C(12,6)

Defina eventos de “falha” (mais fácil para PIE):

• A: kits com zero itens da categoria X.
• B: kits com zero itens da categoria Y.
• C: kits com zero itens da categoria Z.

Queremos: kits que não estão em A ∪ B ∪ C. Logo:

quantidade desejada = |U| − |A ∪ B ∪ C|

Contagens necessárias

• |A|: escolher 6 apenas dos que não são X (Y+Z = 7 itens): |A| = C(7,6).
• |B|: escolher 6 apenas dos que não são Y (X+Z = 8 itens): |B| = C(8,6).
• |C|: escolher 6 apenas dos que não são Z (X+Y = 9 itens): |C| = C(9,6).
• |A ∩ B|: sem X e sem Y, então só Z (3 itens). Não dá para escolher 6: |A ∩ B| = 0.
• |A ∩ C|: sem X e sem Z, então só Y (4 itens): |A ∩ C| = 0.
• |B ∩ C|: sem Y e sem Z, então só X (5 itens): |B ∩ C| = 0.
• |A ∩ B ∩ C|: sem X, sem Y, sem Z: impossível, 0.

Então:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C|

e a resposta final:

quantidade desejada = C(12,6) − [C(7,6) + C(8,6) + C(9,6)]

Checagem rápida de consistência: o resultado deve ser não negativo e no máximo C(12,6). Além disso, como as interseções deram 0 por impossibilidade, faz sentido a união ser apenas a soma dos casos de “falta de uma categoria”.

Aplicação 3: eventos do tipo “pelo menos uma condição”

Exemplo: pelo menos um sucesso em três tipos de condição

Considere um experimento equiprovável com universo U. Você quer P(A ∪ B ∪ C), onde A, B, C são eventos que podem ocorrer simultaneamente.

O PIE fornece:

P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C) − P(A∩B) − P(A∩C) − P(B∩C) + P(A∩B∩C)

Quando o espaço é finito e equiprovável, você pode calcular cada probabilidade por contagem e dividir por |U|. O ponto importante é: não é necessário independência para usar inclusão-exclusão; basta conseguir as interseções.

Organizando o PIE com tabelas de interseções

Uma forma prática de evitar erros é montar uma tabela com todas as interseções necessárias e preencher com contagens (ou probabilidades). Para 3 conjuntos:

Depois, aplique diretamente a fórmula. Se algum valor violar as checagens (negativo, maior que um conjunto que o contém), há erro de modelagem ou de contagem.

Exercícios (com foco em tabelas e checagens)

Exercício 1 (2 conjuntos): sequências com dígitos proibidos

Considere todas as sequências de comprimento 6 formadas por dígitos de 0 a 9 (repetição permitida). Conte quantas sequências não contêm o dígito 0 nem o dígito 7.

• Defina U, A = “contém 0”, B = “contém 7”.
• Preencha a tabela: |U|, |A|, |B|, |A∩B|.
• Calcule |U \ (A∪B)|.
• Checagens: o resultado deve ser ≥ 0 e ≤ 10^6.

Exercício 2 (3 conjuntos): “pelo menos uma condição” em cartas

De um baralho padrão de 52 cartas, escolhe-se uma mão de 5 cartas. Conte quantas mãos satisfazem: pelo menos uma das condições: (A) ter pelo menos um Ás, (B) ter pelo menos um Rei, (C) ter pelo menos uma Dama.

• Universo: |U| = C(52,5).
• Monte a tabela com |A|,|B|,|C|,|A∩B|,|A∩C|,|B∩C|,|A∩B∩C|.
• Dica: conte “pelo menos um” usando complemento dentro da mão (por exemplo, |A| = |U| − mãos sem Ás).
• Checagens: cada interseção em pares deve ser ≤ cada termo individual correspondente.

Exercício 3 (3 conjuntos): kit com categorias (checando impossibilidades)

Há 14 itens: 6 do tipo X, 5 do tipo Y, 3 do tipo Z. Quantos subconjuntos de 7 itens contêm pelo menos um de cada tipo?

• Use falhas: A = “sem X”, B = “sem Y”, C = “sem Z”.
• Preencha a tabela de interseções e identifique quais interseções são zero por falta de itens suficientes.
• Checagens: termos impossíveis devem aparecer como 0; o resultado final deve ser ≤ C(14,7).

Exercício 4 (tabela pronta para completar): consistência de dados

Em um universo com |U| = 200, três conjuntos A, B, C têm:

• (a) Determine o intervalo possível para t usando apenas checagens de consistência (não negatividade e limites superiores).
• (b) Escreva |A ∪ B ∪ C| em função de t e imponha que |A ∪ B ∪ C| ≤ 200 para refinar o intervalo.
• (c) Para um valor de t válido, calcule |U \ (A ∪ B ∪ C)| e verifique se é não negativo.