Perceptron e neurônio artificial em Redes Neurais: soma ponderada e decisão

Neurônio artificial: combinação linear + não linearidade

Um neurônio artificial (ou unidade) recebe um vetor de entradas e produz uma saída aplicando dois passos: (1) uma combinação linear (soma ponderada) e (2) uma não linearidade (função de ativação). A forma mais comum de escrever é:

z = w · x + b  (pré-ativação)\ny = φ(z)      (saída)

Onde x é o vetor de entrada, w é o vetor de pesos, b é o viés (bias), · é o produto escalar e φ é a ativação. No perceptron clássico, a ativação é uma função degrau (decisão dura), que transforma a soma ponderada em uma classe.

Componentes e interpretação

• Entrada como vetor: x = [x1, x2, ..., xd]. Cada componente é uma característica (feature).
• Pesos: w = [w1, w2, ..., wd]. Controlam o quanto cada entrada influencia a decisão. Pesos positivos “puxam” a decisão para um lado; negativos, para o outro.
• Produto escalar: w · x = Σ (wi * xi). Mede alinhamento entre w e x: quanto mais alinhados, maior o valor.
• Viés (b): desloca a fronteira de decisão sem precisar mudar os pesos. É como um “intercepto” em 2D.
• Limiar de decisão: no perceptron, decide-se a classe comparando z com um limiar (tipicamente 0). Ex.: y = 1 se z ≥ 0, senão y = 0.

Perceptron como classificador linear

O perceptron é um neurônio com ativação degrau, usado para classificação binária. Uma forma comum:

z = w · x + b\ny = 1, se z ≥ 0\ny = 0, se z < 0

Isso cria uma fronteira de decisão linear: o conjunto de pontos onde z = 0. Em 2D, essa fronteira é uma reta; em dimensões maiores, é um hiperplano.

Exemplo em 2D: reta de separação

Considere x = [x1, x2], w = [w1, w2]. A fronteira é:

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w1*x1 + w2*x2 + b = 0

Se w2 ≠ 0, podemos isolar x2:

x2 = -(w1/w2)*x1 - b/w2

Isso mostra que:

• Inclinação da reta depende da razão -(w1/w2).
• Intercepto depende de -b/w2.

Interpretação geométrica dos pesos (normal do hiperplano)

O vetor de pesos w é perpendicular (normal) à fronteira w·x + b = 0. Isso ajuda a interpretar:

• Alterar a direção de w gira a reta/hiperplano.
• Aumentar a magnitude ||w|| (mantendo a direção) torna a transição em termos de z mais “rápida” ao atravessar a fronteira (embora o degrau ainda seja uma decisão dura).
• O viés b desloca a fronteira ao longo da direção de w.

Margem: distância ao hiperplano

Mesmo no perceptron (decisão dura), é útil pensar em quão “seguro” está um ponto em relação à fronteira. A distância assinada de um ponto x ao hiperplano é:

dist(x) = (w · x + b) / ||w||

O sinal indica de que lado do hiperplano o ponto está; o valor absoluto indica quão longe está da fronteira. Pontos com distância pequena estão próximos da decisão e são mais sensíveis a ruído.

Passo a passo prático: calculando a decisão do perceptron

Para classificar um ponto x:

1. Calcule o produto escalar: s = w · x = Σ (wi * xi).
2. Some o viés: z = s + b.
3. Aplique a regra de decisão: se z ≥ 0, classe 1; caso contrário, classe 0.

Exemplo numérico (2D):

w = [2, -1]\nb = -0.5\n\nPara x = [1, 2]:\ns = 2*1 + (-1)*2 = 0\nz = 0 + (-0.5) = -0.5  => y = 0\n\nPara x = [2, 1]:\ns = 2*2 + (-1)*1 = 3\nz = 3 - 0.5 = 2.5      => y = 1

Separação linear: quando o perceptron funciona

Um conjunto de dados é linearmente separável se existe alguma reta (em 2D) ou hiperplano (em dimensões maiores) que separa perfeitamente as duas classes. Nesse caso, o perceptron consegue representar uma regra de decisão que separa as classes, pois sua fronteira é exatamente um hiperplano.

Exemplo geométrico em 2D (separável)

Imagine pontos da classe A concentrados “à esquerda” e pontos da classe B “à direita”. Uma reta vertical (ou levemente inclinada) pode separar os grupos. O perceptron encontra algum w e b que definem uma reta que deixa A de um lado (z < 0) e B do outro (z ≥ 0).

Por que o perceptron falha em padrões não linearmente separáveis

Se não existe uma única reta/hiperplano que separe as classes, o perceptron não consegue resolver o problema, porque sua fronteira de decisão é necessariamente linear.

Exemplo clássico em 2D: padrão XOR

Considere quatro pontos:

Geometricamente, as classes ficam em cantos alternados de um quadrado. Qualquer reta que tente separar os pontos de classe 1 inevitavelmente colocará um ponto de classe 0 no mesmo lado. Logo, não há hiperplano que resolva.

Intuição: o XOR exige uma fronteira “dobrada” (não linear), como duas regiões separadas, o que um único perceptron não consegue criar.

Hiperplano em 2D: visualizando a fronteira e o papel de w e b

Em 2D, a fronteira w1*x1 + w2*x2 + b = 0 é uma reta. Para entender o efeito dos parâmetros, observe:

• Mudar b desloca a reta paralelamente (sem mudar a inclinação).
• Mudar a razão w1/w2 altera a inclinação (gira a reta).
• Trocar o sinal de w e b não muda a reta (a equação multiplicada por -1 define o mesmo conjunto de pontos), mas inverte o lado considerado classe 1 vs 0.

Exemplo rápido: se w = [1, 1] e b = -1, a fronteira é x1 + x2 - 1 = 0, isto é, x2 = 1 - x1. Pontos com x1 + x2 ≥ 1 caem na classe 1.

Atividade: cálculo manual da saída do neurônio

Faça os cálculos à mão seguindo os passos (produto escalar, soma do viés, decisão). Use a regra: y = 1 se z ≥ 0, senão y = 0.

Parte A (2D)

Considere w = [1.5, -2] e b = 0.5. Calcule z e y para:

• x(1) = [0, 0]
• x(2) = [1, 0]
• x(3) = [0, 1]
• x(4) = [2, 1]

Parte B (interpretação geométrica)

Com os mesmos w e b, encontre dois pontos diferentes que estejam exatamente na fronteira de decisão (isto é, satisfaçam w·x + b = 0). Dica: escolha um valor para x1 e resolva x2.

Parte C (mudança de viés)

Mantenha w = [1.5, -2] e altere o viés para b = -1.5. Recalcule apenas para x(4) = [2, 1] e compare a classe obtida com a Parte A. Explique, em uma frase, o que o viés fez com a decisão.