Fundamentos de Matemática: Divisibilidade, Múltiplos e Divisores

Ideias centrais: múltiplos, divisores e divisibilidade

Múltiplos de um número n são os resultados de n × k, com k inteiro. Exemplos: múltiplos de 6: ..., 0, 6, 12, 18, 24, 30, ....

Divisores de um número N são os números que dividem N exatamente (resto 0). Exemplo: 3 é divisor de 12 porque 12 ÷ 3 = 4 (inteiro).

Dizemos que N é divisível por d quando N ÷ d dá resto 0. Notação comum: d | N (lê-se “d divide N”).

Não confunda

• “12 é múltiplo de 3” (verdade) porque 12 = 3 × 4.
• “3 é divisor de 12” (verdade) porque 12 ÷ 3 é exato.
• Erro comum: dizer “12 é divisor de 3” (inverteu a relação).

Critérios de divisibilidade (verificações rápidas)

Critérios ajudam a decidir rapidamente se um número é divisível, sem fazer a divisão completa.

Por 2

Um número é divisível por 2 se termina em 0, 2, 4, 6, 8.

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• Ex.: 154 é divisível por 2 (termina em 4).

Por 3

É divisível por 3 se a soma dos algarismos é divisível por 3.

• Ex.: 372 → 3+7+2=12 e 12 é divisível por 3, então 372 é divisível por 3.

Por 5

É divisível por 5 se termina em 0 ou 5.

• Ex.: 1.235 é divisível por 5 (termina em 5).

Por 9

É divisível por 9 se a soma dos algarismos é divisível por 9.

• Ex.: 6.318 → 6+3+1+8=18 e 18 é divisível por 9, então 6.318 é divisível por 9.

Por 10

É divisível por 10 se termina em 0.

• Ex.: 4.120 é divisível por 10.

Por 11 (quando útil)

Regra prática: some os algarismos em posições alternadas e calcule a diferença entre as somas. Se a diferença for múltiplo de 11 (inclusive 0), o número é divisível por 11.

Ex.: 4.807: (4+0) − (8+7) = 4 − 15 = −11. Como −11 é múltiplo de 11, 4807 é divisível por 11.

Como confirmar rapidamente (sem depender só do critério)

Depois do critério, faça uma checagem curta com divisão:

• Se você suspeita que 4807 é divisível por 11, teste: 11 × 400 = 4400, sobra 407; 11 × 37 = 407. Logo 4807 = 11 × 437.

Decomposição em fatores primos (fatoração) — passo a passo

Fatores primos são números primos que, multiplicados, formam o número original. A fatoração em primos é uma ferramenta central para: encontrar divisores, calcular MMC/MDC, simplificar frações e reduzir contas.

Método prático: divisões sucessivas por primos

Você divide o número pelos menores primos possíveis (2, 3, 5, 7, 11, ...) até chegar em 1.

Exemplo 1: fatorar 360 em primos

360 ÷ 2 = 180  (2 é primo, e 360 é par)  → fator 2 360 ÷ 2 = 180 ÷ 2 = 90   (ainda par)             → fator 2 90 ÷ 2 = 45    (ainda par)             → fator 2 45 ÷ 3 = 15    (soma 4+5=9, divisível por 3) → fator 3 15 ÷ 3 = 5     (divisível por 3)         → fator 3 5 ÷ 5 = 1      (divisível por 5)         → fator 5

Logo:

360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5

Exemplo 2: fatorar 924 em primos

924 ÷ 2 = 462  → fator 2 462 ÷ 2 = 231  → fator 2 231 ÷ 3 = 77   (2+3+1=6, divisível por 3) → fator 3 77 ÷ 7 = 11    → fator 7 11 ÷ 11 = 1     → fator 11

Logo:

924 = 2² × 3 × 7 × 11

Erros comuns na fatoração

• Parar cedo demais (ex.: chegar em 21 e não continuar: 21 = 3 × 7).
• Usar um número composto como “fator primo” (ex.: dividir por 6 e registrar 6 como se fosse primo).
• Esquecer de testar 3 usando a soma dos algarismos.

Como encontrar todos os divisores de um número

Há dois caminhos úteis: (1) listar pares de divisores com divisão; (2) usar a fatoração em primos para gerar todos os divisores sem esquecer nenhum.

Método 1: pares de divisores (checagem por divisão)

Para encontrar divisores de N, teste números de 1 até √N. Quando d divide N, você ganha um par: d e N/d.

Atividade guiada: divisores de 36

√36 = 6. Teste de 1 a 6:

• 36 ÷ 1 = 36 → divisores: 1 e 36
• 36 ÷ 2 = 18 → divisores: 2 e 18
• 36 ÷ 3 = 12 → divisores: 3 e 12
• 36 ÷ 4 = 9 → divisores: 4 e 9
• 36 ÷ 5 não é exata
• 36 ÷ 6 = 6 → divisor: 6 (par repetido)

Lista completa (sem repetir): 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Erro comum: duplicar divisor em quadrado perfeito

Em 36, quando d=6, o par é (6,6). Não conte duas vezes.

Método 2: usando a fatoração em primos (mais sistemático)

Se N = p₁^{a} × p₂^{b} × ..., então cada divisor é formado escolhendo expoentes de 0 até o máximo de cada primo.

Exemplo: divisores de 72 via fatoração

Fatore:

72 ÷ 2 = 36  → 2 36 ÷ 2 = 18  → 2 18 ÷ 2 = 9   → 2 9 ÷ 3 = 3    → 3 3 ÷ 3 = 1    → 3

72 = 2³ × 3²

Então um divisor tem a forma 2^x × 3^y, com x = 0,1,2,3 e y = 0,1,2. Liste:

Assim você garante que não esquece 1 e nem o próprio número.

Erros comuns ao listar divisores

• Esquecer o 1 e o próprio número (N sempre divide por 1 e por ele mesmo).
• Parar a busca antes de √N no método de pares.
• Confundir “divisores” com “múltiplos” (múltiplos são infinitos; divisores são finitos).

Usando fatores primos para simplificar frações e reduzir cálculos

Uma fração pode ser simplificada dividindo numerador e denominador por um mesmo fator (idealmente o maior possível). A fatoração em primos mostra claramente quais fatores são comuns.

Exemplo 1: simplificar 84/126 por fatoração

Fatore 84:

84 ÷ 2 = 42 → 2 42 ÷ 2 = 21 → 2 21 ÷ 3 = 7  → 3 7 ÷ 7 = 1   → 7

84 = 2² × 3 × 7

Fatore 126:

126 ÷ 2 = 63 → 2 63 ÷ 3 = 21 → 3 21 ÷ 3 = 7  → 3 7 ÷ 7 = 1   → 7

126 = 2 × 3² × 7

Monte a fração:

84/126 = (2² × 3 × 7) / (2 × 3² × 7)

Cancele fatores comuns (mesma base):

• Cancela um 2: sobra 2 no numerador.
• Cancela um 3: sobra 3 no denominador.
• Cancela 7 completamente.

Resultado:

84/126 = 2/3

Exemplo 2: reduzir uma conta usando cancelamento antes de multiplicar

Calcule (48 × 35) / 60 sem fazer 48×35 primeiro.

Fatore (ou simplifique por divisibilidade):

• 48/60 tem fator comum 12: 48 ÷ 12 = 4, 60 ÷ 12 = 5.

Então:

(48 × 35) / 60 = (4 × 35) / 5

Agora simplifique 35/5 = 7:

(4 × 35) / 5 = 4 × 7 = 28

Verificações rápidas com critérios (para simplificar)

• Se o denominador é múltiplo de 2, 5 ou 10, tente cancelar fatores 2 e 5 primeiro.
• Se ambos têm soma de algarismos múltipla de 3, tente cancelar 3.
• Se ambos terminam em 0, dá para cancelar 10 imediatamente.

Atividades práticas (com checagem)

1) Múltiplo ou divisor?

• a) 24 é múltiplo de 6 ou divisor de 6?
• b) 7 é divisor de 56 ou múltiplo de 56?
• c) 15 é múltiplo de 5 e divisor de 60? Verifique com uma igualdade do tipo N = d × k.

2) Critérios de divisibilidade (decida sem dividir completamente)

• a) 8.316 é divisível por 2? por 3? por 9?
• b) 12.540 é divisível por 5? por 10? por 3?
• c) 7.293 é divisível por 9? Justifique pela soma dos algarismos.
• d) 9.911 é divisível por 11? Use a regra das somas alternadas.

3) Fatoração em primos (passo a passo)

• a) Fatore 420 em primos usando divisões sucessivas.
• b) Fatore 1.008 em primos (dica: comece por 2 enquanto der).

4) Encontre todos os divisores

• a) Liste os divisores de 28 usando pares até √28.
• b) Liste os divisores de 96 usando a fatoração em primos e a forma 2^x × 3^y (ou equivalente).
• c) Liste os divisores de 49 e explique por que não deve duplicar o 7.

5) Simplificação de frações por fatores primos

• a) Simplifique 150/210 por fatoração.
• b) Simplifique 96/144 e confira com uma divisão exata pelo maior fator comum que você encontrar.
• c) Simplifique 225/300 usando cancelamento por fatores 3 e 5.

Checklist de autocorreção (evita erros comuns)

• Eu verifiquei se estou falando de múltiplos (n×k) ou divisores (N÷d exato)?
• Ao listar divisores, incluí 1 e o próprio número?
• Se o número é quadrado perfeito, evitei contar duas vezes o divisor √N?
• Usei um critério de divisibilidade e confirmei com uma multiplicação ou divisão curta?