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Estatística Descritiva do Zero: medidas de tendência central (média, mediana e moda)

Capítulo 7

Tempo estimado de leitura: 6 minutos

O que são medidas de tendência central

Medidas de tendência central resumem um conjunto de valores em um “valor típico”. As três mais usadas são média, mediana e moda. Elas respondem à pergunta: “qual valor representa melhor os dados?”, mas cada uma reage de forma diferente a assimetria e outliers (valores extremos).

Média (aritmética): conceito, cálculo e uso

Conceito

A média é o “equilíbrio” dos valores: soma tudo e divide pela quantidade de observações. Ela usa toda a informação numérica, mas é sensível a outliers.

Fórmula

Para valores x1, x2, ..., xn:

média = (x1 + x2 + ... + xn) / n

Passo a passo prático

Passo 1: some todos os valores.
Passo 2: conte quantos valores existem (n).
Passo 3: divida a soma por n.

Exemplo 1 (preços)

Preços (R$): 10, 12, 12, 13, 53

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Soma = 10 + 12 + 12 + 13 + 53 = 100
n = 5
Média = 100/5 = 20

Interpretação: a média ficou em 20, mas a maioria dos preços está perto de 10–13. O valor 53 puxou a média para cima.

Quando a média é mais apropriada

Quando a distribuição é aproximadamente simétrica e sem extremos muito influentes.
Quando faz sentido “compensar” valores (ex.: consumo médio, produção média, nota média com pesos iguais).
Quando você precisa de uma medida que entre em cálculos posteriores (ex.: variância, desvio-padrão).

Média ponderada: quando pesos importam

Conceito

A média ponderada é usada quando algumas observações têm importância diferente (pesos). Em vez de tratar tudo igualmente, cada valor contribui proporcionalmente ao seu peso.

Fórmula

Para valores x com pesos w:

média ponderada = (Σ (w · x)) / (Σ w)

Passo a passo prático

Passo 1: multiplique cada valor pelo seu peso.
Passo 2: some os produtos (Σ(w·x)).
Passo 3: some os pesos (Σw).
Passo 4: divida a soma dos produtos pela soma dos pesos.

Exemplo 2 (notas com pesos)

Um aluno tem: Prova 1 = 6 (peso 2), Prova 2 = 8 (peso 3), Trabalho = 10 (peso 1).

Produtos: 6·2 = 12; 8·3 = 24; 10·1 = 10
Soma dos produtos = 12 + 24 + 10 = 46
Soma dos pesos = 2 + 3 + 1 = 6
Média ponderada = 46/6 = 7,67

Interpretação: a nota 8 teve mais influência por ter maior peso.

Exemplo 3 (indicador agregado)

Preço médio por unidade vendida (média ponderada): Produto A custa 5 e vendeu 100 unidades; Produto B custa 8 e vendeu 20 unidades.

Σ(w·x) = 100·5 + 20·8 = 500 + 160 = 660
Σw = 100 + 20 = 120
Média ponderada = 660/120 = 5,5

Interpretação: apesar de existir produto a 8, o preço médio por unidade fica perto de 5 porque A vende muito mais.

Mediana: conceito, cálculo e uso

Conceito

A mediana é o valor central quando os dados estão em ordem. Metade dos valores fica abaixo (ou igual) e metade acima (ou igual). Ela é robusta a outliers, por isso costuma representar melhor o “típico” em distribuições assimétricas.

Passo a passo prático

Passo 1: ordene os valores do menor para o maior.
Passo 2: verifique se n é ímpar ou par.
Passo 3 (n ímpar): pegue o valor da posição central.
Passo 3 (n par): faça a média dos dois valores centrais.

Exemplo 4 (mesmos preços do exemplo da média)

Valores ordenados: 10, 12, 12, 13, 53

n = 5 (ímpar) → posição central é a 3ª
Mediana = 12

Interpretação: a mediana (12) descreve melhor o “centro” do conjunto do que a média (20), porque o 53 é um outlier.

Quando a mediana é mais apropriada

Quando há assimetria (ex.: renda, tempo de espera, preços com promoções raras).
Quando existem outliers ou valores muito extremos.
Para dados ordinais (ex.: níveis 1–5 de satisfação), em que faz sentido falar em “posição central”, mas não necessariamente em diferenças numéricas exatas.

Moda: conceito, cálculo e uso

Conceito

A moda é o valor que mais se repete. Pode haver:

Uma moda (unimodal)
Duas modas (bimodal)
Várias modas (multimodal)
Nenhuma moda (se todos aparecem com a mesma frequência)

Passo a passo prático

Passo 1: conte quantas vezes cada valor aparece.
Passo 2: identifique o(s) valor(es) com maior contagem.

Exemplo 5 (notas)

Notas: 7, 8, 8, 9, 10, 8, 7

7 aparece 2 vezes; 8 aparece 3 vezes; 9 aparece 1 vez; 10 aparece 1 vez
Moda = 8

Quando a moda é mais apropriada

Quando você quer o valor mais comum (ex.: tamanho mais vendido, categoria mais frequente).
Para variáveis qualitativas e ordinais (ex.: “muito satisfeito” como resposta mais frequente).
Quando a distribuição tem picos (bimodalidade pode indicar dois grupos diferentes).

Como escolher entre média, mediana e moda

Situação	Melhor medida (em geral)	Por quê
Distribuição aproximadamente simétrica, sem extremos	Média	Usa todos os valores e é eficiente quando não há distorções
Assimetria forte ou presença de outliers	Mediana	Quase não muda com valores extremos
Dados ordinais (ex.: escala 1–5)	Mediana ou Moda	Respeitam a ordem; média pode ser difícil de interpretar
Interesse no valor mais comum	Moda	Mostra o pico de frequência
Notas/indicadores com pesos diferentes	Média ponderada	Reflete importâncias distintas

Média vs. mediana como pista sobre a distribuição

Comparar média e mediana ajuda a inferir a forma da distribuição:

Média ≈ Mediana: distribuição tende a ser mais simétrica.
Média > Mediana: provável assimetria à direita (cauda longa para valores altos). Alguns valores altos puxam a média para cima.
Média < Mediana: provável assimetria à esquerda (cauda longa para valores baixos). Alguns valores baixos puxam a média para baixo.

Exemplo 6 (assimetria à direita)

Rendas (em mil): 2, 2, 3, 3, 20

Média = (2+2+3+3+20)/5 = 30/5 = 6
Mediana = 3

Como a média ficou bem maior que a mediana, isso sugere cauda à direita (um valor muito alto).

Exemplo 7 (assimetria à esquerda)

Notas: 2, 8, 8, 9, 9

Média = (2+8+8+9+9)/5 = 36/5 = 7,2
Mediana = 8

Um valor muito baixo puxou a média para baixo, ficando menor que a mediana.

Exercícios (prática com outliers e interpretação)

Exercício 1: outlier alterando a média

Considere os tempos (min): 12, 13, 13, 14, 15

a) Calcule média e mediana.
b) Agora substitua o 15 por 60: 12, 13, 13, 14, 60. Recalcule média e mediana.
c) Compare o quanto cada medida mudou.

Exercício 2: mediana quase estável

Preços (R$): 9, 10, 10, 11, 12, 12

a) Calcule média e mediana.
b) Troque o 12 final por 120: 9, 10, 10, 11, 12, 120. Recalcule.
c) Explique por que a mediana muda pouco (ou nada) em relação à média.

Exercício 3: média ponderada em boletim

Uma disciplina tem: Prova = 7 (peso 5), Projeto = 9 (peso 3), Lista = 10 (peso 2).

a) Calcule a média simples das três notas.
b) Calcule a média ponderada.
c) Qual delas representa melhor a regra de avaliação? Por quê?

Exercício 4: moda e multimodalidade

Tamanhos vendidos: P, M, M, G, G, G, GG, GG

a) Encontre a moda.
b) Se a lista fosse P, M, M, G, G, GG, GG (sem o G extra), haveria uma ou duas modas?
c) O que duas modas podem sugerir sobre o perfil de clientes?

Exercício 5: média vs. mediana como diagnóstico

Para cada conjunto, calcule média e mediana e indique se há indício de assimetria à direita, à esquerda ou simetria:

a) 4, 5, 5, 6, 6
b) 1, 2, 2, 3, 10
c) 0, 7, 7, 8, 9

Agora responda o exercício sobre o conteúdo:

Ao analisar um conjunto de dados com forte assimetria e presença de valores extremos (outliers), qual medida de tendência central tende a representar melhor o “valor típico” e por quê?

Você acertou! Parabéns, agora siga para a próxima página

Você errou! Tente novamente.

Em distribuições assimétricas com outliers, a média pode ser “puxada” pelos valores extremos. A mediana depende da posição central dos dados ordenados, então tende a permanecer mais estável e representar melhor o centro.