Cómo usar la práctica progresiva
La práctica progresiva es una forma de entrenar matemáticas subiendo la dificultad en pasos pequeños y controlados. La idea es repetir un mismo tipo de habilidad con variaciones: primero con números sencillos y estructura clara, luego con más pasos, y al final con enunciados más “reales” o con datos que obligan a decidir qué hacer. Esto reduce la ansiedad porque siempre sabes qué estás practicando y por qué.
Regla de oro: un objetivo por tanda
En cada tanda (por ejemplo, 10–15 minutos) elige un solo objetivo: operar con paréntesis, simplificar expresiones, resolver un sistema, interpretar una gráfica, etc. Si mezclas objetivos, es difícil saber qué mejorar.
- Objetivo: lo que quieres automatizar.
- Señal de dominio: lo haces sin detenerte a “inventar” el método.
- Señal de atasco: dudas del primer paso o cambias de estrategia a mitad.
Guía práctica paso a paso (método de 4 niveles)
Paso 1: Nivel 1 (mecánico y corto)
Ejercicios con pocos pasos y números amables. Aquí buscas fluidez, no creatividad. Si fallas, repites el mismo patrón hasta que salga sin esfuerzo.
Paso 2: Nivel 2 (mismo patrón, más pasos)
Mantienes la misma habilidad, pero añades una capa: más términos, más paréntesis, o una condición extra. El objetivo es sostener el método sin perder el orden.
Paso 3: Nivel 3 (decisión)
Ahora el ejercicio exige elegir: ¿conviene factorizar?, ¿expandir?, ¿usar sustitución?, ¿reordenar? No es más “difícil” por números, sino por decisión.
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Paso 4: Nivel 4 (aplicación breve)
Problemas cortos con contexto o con datos “ruidosos” (unidades, redondeo, información extra). El objetivo es traducir a matemáticas sin perder el control del procedimiento.
Plantilla de solución explicada (para cualquier ejercicio)
Para que la práctica te enseñe, no basta con ver la respuesta: necesitas una explicación repetible. Usa esta plantilla al corregir:
- 1) Qué me piden: escribe la meta en una frase.
- 2) Qué sé / qué tengo: datos, expresiones, ecuaciones.
- 3) Estrategia: nombra el método (por ejemplo: “distribuir y combinar términos semejantes”).
- 4) Ejecución: pasos numerados, uno por línea.
- 5) Comprobación rápida: sustituir, estimar o verificar coherencia.
- 6) Error típico evitado: anota el punto donde suele fallar la gente (signos, paréntesis, etc.).
Bloque A: Expresiones algebraicas (progresión con soluciones)
Nivel 1: distribuir y reducir
Ejercicio A1: Simplifica: 3(2x + 5) − 4x
Qué me piden: dejar la expresión lo más simple posible. Estrategia: distribuir y combinar términos semejantes. Paso 1: 3(2x + 5) = 3·2x + 3·5 = 6x + 15 Paso 2: (6x + 15) − 4x = (6x − 4x) + 15 = 2x + 15 Resultado: 2x + 15 Comprobación rápida: si x=1, original = 3(2+5)−4=21−4=17; simplificada = 2+15=17.Nivel 2: paréntesis anidados y signos
Ejercicio A2: Simplifica: 2[3x − (x − 4)] + 5
Qué me piden: simplificar. Estrategia: resolver primero el paréntesis interno, luego distribuir. Paso 1: 3x − (x − 4) = 3x − x + 4 = 2x + 4 Paso 2: 2[2x + 4] + 5 = 4x + 8 + 5 Paso 3: 4x + 13 Resultado: 4x + 13 Punto clave: el signo menos delante del paréntesis cambia los signos dentro.Nivel 3: elegir forma útil (factorizar o expandir)
Ejercicio A3: Reescribe de forma factorizada: 6x + 9
Qué me piden: factorizar (sacar factor común). Estrategia: buscar el máximo factor común. Paso 1: MFC(6,9)=3 Paso 2: 6x + 9 = 3(2x) + 3(3) = 3(2x + 3) Resultado: 3(2x + 3) Comprobación: 3(2x+3)=6x+9.Nivel 4: mini-aplicación (interpretación)
Ejercicio A4: Una tarifa tiene un cargo fijo de 12 y un cargo variable de 3 por cada unidad x. Escribe y simplifica el costo total si además hay un recargo de 5.
Qué me piden: una expresión del costo total. Qué tengo: fijo 12, variable 3x, recargo 5. Estrategia: sumar componentes y reducir. Paso 1: C(x)=12 + 3x + 5 Paso 2: C(x)=3x + 17 Resultado: 3x + 17 Lectura: por cada unidad, sube 3; incluso con x=0, cuesta 17.Bloque B: Sistemas de ecuaciones (progresión con soluciones)
Nivel 1: sustitución directa
Ejercicio B1: Resuelve el sistema: y = 2x y x + y = 12
Qué me piden: valores de x e y. Estrategia: sustitución (ya tengo y en función de x). Paso 1: Sustituir y=2x en x+y=12 → x+2x=12 Paso 2: 3x=12 → x=4 Paso 3: y=2x=8 Comprobación: 4+8=12.Nivel 2: sustitución con despeje previo
Ejercicio B2: Resuelve: 2x + y = 11 y x − y = 1
Qué me piden: x e y. Estrategia: despejar una variable y sustituir. Paso 1: De x − y = 1 → y = x − 1 Paso 2: Sustituir en 2x + y = 11 → 2x + (x − 1)=11 Paso 3: 3x − 1 = 11 → 3x = 12 → x = 4 Paso 4: y = x − 1 = 3 Comprobación: 2·4+3=11 y 4−3=1.Nivel 3: eliminación (decisión de método)
Ejercicio B3: Resuelve: 3x + 2y = 16 y 3x − 2y = 4
Qué me piden: x e y. Estrategia: eliminación (los coeficientes de y son opuestos). Paso 1: Sumar ecuaciones: (3x+2y) + (3x−2y) = 16 + 4 Paso 2: 6x = 20 → x = 20/6 = 10/3 Paso 3: Sustituir en 3x + 2y = 16 → 3(10/3)+2y=16 Paso 4: 10 + 2y = 16 → 2y = 6 → y = 3 Comprobación: 3(10/3)−2·3=10−6=4.Nivel 4: mini-aplicación (traducción a sistema)
Ejercicio B4: En una compra, 2 artículos A y 1 artículo B cuestan 11. En otra, 1 artículo A y 3 artículos B cuestan 13. Halla el precio de A y de B.
Qué me piden: precio de A y de B. Defino: A = precio del artículo A, B = precio del artículo B. Planteo: 2A + B = 11 y A + 3B = 13 Estrategia: eliminación (multiplico la segunda para eliminar A). Paso 1: Multiplico la segunda por 2: 2A + 6B = 26 Paso 2: Resto la primera: (2A+6B) − (2A+B) = 26 − 11 → 5B = 15 Paso 3: B = 3 Paso 4: Sustituyo en 2A + B = 11 → 2A + 3 = 11 → 2A = 8 → A = 4 Comprobación: A+3B = 4+9=13.Bloque C: Funciones y gráficas (progresión con soluciones)
Nivel 1: evaluar una función
Ejercicio C1: Si f(x)=2x−3, calcula f(5).
Qué me piden: el valor numérico de f(5). Estrategia: sustituir x por 5. Paso 1: f(5)=2·5−3=10−3=7 Resultado: 7.Nivel 2: hallar la ecuación a partir de dos puntos
Ejercicio C2: Encuentra la recta que pasa por (0,2) y (3,8).
Qué me piden: ecuación de la recta. Estrategia: usar pendiente y ordenada al origen. Paso 1: Pendiente m = (8−2)/(3−0) = 6/3 = 2 Paso 2: Como pasa por (0,2), la ordenada al origen es b=2 Paso 3: Ecuación: y = mx + b = 2x + 2 Comprobación: si x=3, y=2·3+2=8.Nivel 3: interpretar pendiente e intercepto
Ejercicio C3: En y = −1.5x + 10, interpreta qué significan −1.5 y 10.
Qué me piden: interpretación. Estrategia: identificar pendiente (cambio por unidad) e intercepto (valor cuando x=0). Paso 1: 10 es el valor inicial: cuando x=0, y=10. Paso 2: −1.5 es la tasa de cambio: por cada 1 que aumenta x, y baja 1.5. Nota: el signo negativo indica disminución.Nivel 4: mini-aplicación con tabla
Ejercicio C4: Una relación lineal cumple que cuando x=1, y=9 y cuando x=5, y=1. Construye la ecuación y calcula y cuando x=3.
Qué me piden: ecuación y valor en x=3. Estrategia: pendiente con dos puntos y luego evaluar. Paso 1: m = (1−9)/(5−1) = (−8)/4 = −2 Paso 2: y = mx + b → usando (1,9): 9 = −2(1) + b → b = 11 Paso 3: ecuación: y = −2x + 11 Paso 4: y(3)=−2·3+11=−6+11=5 Comprobación: x=5 → y=−10+11=1.Cómo corregir para aprender (sin repetir el mismo error)
Clasifica el fallo en 3 tipos
- Tipo 1: procedimiento (no sé qué método usar). Solución: vuelve un nivel atrás y repite 3–5 ejercicios del mismo patrón.
- Tipo 2: ejecución (sé el método, pero me equivoco en un paso). Solución: escribe pasos más pequeños y marca dónde cambian signos o se distribuye.
- Tipo 3: lectura/traducción (planteo mal). Solución: reescribe “qué me piden” y define variables antes de operar.
Repetición inteligente: el ciclo 2-1-1
Cuando falles un ejercicio, no lo repitas igual muchas veces. Haz este ciclo:
- 2 ejercicios casi idénticos (mismo patrón) para fijar el paso que falló.
- 1 ejercicio con una variación (un paréntesis extra, un signo negativo, números distintos).
- 1 ejercicio de aplicación breve (enunciado corto) para comprobar transferencia.
Banco de práctica (sin solución, para autoevaluación)
Expresiones
- Simplifica: 4(3x − 2) + 7 − 5x
- Simplifica: 5[a − (2a − 3)] − 2
- Factoriza: 8x − 12
- Factoriza: 9y + 6
Sistemas
- Resuelve: y = x + 4 y 2x + y = 19
- Resuelve: 3x − y = 10 y x + y = 6
- Resuelve: 4x + 3y = 1 y 4x − 3y = 19
Funciones y rectas
- Si g(x)=−3x+2, calcula g(−4)
- Halla la recta por (2,1) y (6,9)
- Interpreta en y=0.5x−7 qué significan 0.5 y −7
